Définition
Soit \(A\subset E\subset{\Bbb R}^n\) avec \((E,\lVert\;\rVert)\) un espace métrique
L'adhérence de \(A\), notée \(\overline A\), est le plus petit fermé contenant \(A\)
(
Fermé)
\(\overline A\) est l'intersection de tous les fermés qui contiennent \(A\)
Si \(x\in\overline A\), alors \(x\) est dit adhérent à \(A\)
Caractérisation
Caractérisation de l'adhérence par les suites
Caractérisation de l'adhérence par les suites :
\(x\in\overline A\) \(\iff\) il existe une suite \((x_k)\) d'éléments de \(A\) telle que $$x_k\underset{k\to+\infty}\longrightarrow x$$
(
Suite convergente)
Caractérisation par les boules
Caractérisation de l'adhérence par les boules :
- $$\forall\varepsilon\gt 0,\qquad B(x,\varepsilon)\cap U\ne\varnothing$$
$$\Huge\iff$$
Propriétés
Adhérence d'un fermé
Si \(A\) est un fermé, alors on a $${{\overline A}}={{A}}$$
(
Fermé)
Adhérence d'un fermé :
Adhérence du complémentaire
Si \(A={\Bbb R}^2\setminus B\), alors : $${{\overline A}}={{{\Bbb R}^2\setminus\mathring B}}$$
(
Complémentaire)
$${{\overline{A^C} }}={{(\mathring A)^C}}$$
Adhérence de boules
$$\overline{B(x,r)}{{\subset}}\overline B(x,r)$$
Union d'adhérences
Union d'adhérences : $$\overline{\bigcup_{i\in I}A_i}=\bigcup_{i\in I}\overline{A_i}$$
Intersection d'adhérences
Intersection d'adhérences :
$$\overline{\bigcap_{i\in I}A_i}\subset\bigcap_{i\in I}\overline{A_i}$$
Exemples
.\(\overline{\Bbb Q}={{{\Bbb R}}}\)